La fórmula de Künneth en categorías abelianas
Date
2015-10
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“Uno de los objetivos principales dentro de la topología es clasificar a los espacios topológicos, es decir, determinar cuándo dos espacios son homeomorfismo o no. En algunas ocasiones dicho problema no queda resuelto si solo se usan herramientas conocidas en topología general, y por tanto surge la necesidad de emplear nuevas técnicas que involucran el estudio del algebra homológica. Algo habitual que surge en topología algebraica es dilucidar la homología de un producto cartesiano de espacios topológicos X × Y . El teorema de Eilenberg-Zilber nos da una respuesta concreta al afirmar que Hn(X × Y ) ∼= Hn(S∗(X) ⊗ S∗(Y )), donde S∗(X) es el grupo abeliano libre que tiene como base a todos los n-simples singulares en X [17]. Dicho teorema ejemplifica claramente la relación existente entre la homología de un producto de espacios y la homología de cada uno de los espacios involucrados. En el caso de un producto tensorial de complejos de cadenas, existe un teorema conocido como la fórmula de Künneth, en honor al matemático alemán Hermann Lorenz Künneth (1892-1975), el cual afirma que la homología de un producto tensorial de complejos de cadenas queda en términos de la homología de cada uno de los factores”.
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